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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
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Práctica 5 - Aproximación lineal y derivadas

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6. Una escalera de 10 pies de largo está apoyada sobre una pared vertical. Sea $\theta$ el ángulo entre la parte superior de la escalera y la pared, y $x$ la distancia del extremo inferior de aquélla hasta la pared. Si el extremo inferior de la escalera se desliza alejándose de la pared, ¿con qué rapidez cambia $\mathrm{x}$ respecto a $\theta$ cuando $\theta=\frac{\pi}{3}$ ?

Respuesta

Vamos a arrancar con un esquema:

2024-05-04%2013:16:19_6882014.png

Lo primero que tenemos que ver acá es que se nos formó un triángulo rectángulo y podemos escribir $x$ en función de $\theta$ de esta manera:

$ \sin(\theta) = \frac{opuesto}{hipotenusa} = \frac{x}{10}$

Despejando nos queda:

$x = 10 \sin(\theta)$

Para encontrar cómo cambia \( x \) con respecto a \( \theta \), lo que tenemos que hacer es calcular la derivada de $x$ respecto a $\theta$ ($\frac{dx}{d\theta}$), es decir:
$ \frac{dx}{d\theta} = 10 \cos(\theta) $

Quizás esto no termine de cerrar en este punto de la guía, pero te lo menciono para pensar: Vos mirando el esquema e imaginando la situación, seguramente te das cuenta que si $\theta$ aumenta, entonces $x$ también (pensá en la escalera deslizándose). Entonces, ¿tiene sentido que la derivada nos haya dado positiva?

Ahora evaluamos la derivada en $\theta=\frac{\pi}{3}$

$ \frac{dx}{d\theta} (\frac{\pi}{3}) = 10 \cos(\frac{\pi}{3}) = 5$

Entonces, la tasa de cambio de \( x \) con respecto a \( \theta \) cuando \( \theta = \frac{\pi}{3} \) es de 5 pies por radián. Esto significa que cuando \( \theta \) crece, la distancia \( x \) aumenta a una tasa de 5 pies por cada radian que \( \theta \) cambia.
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